اکسترمم و نقطه زینی توابع چند متغیره؛ کاربرد مشتق با مهندس زوارقی؛ ریاضی عمومی 2

سلام خدمت همه شما دوستان عزیزم امیدوارم حال همگی خوب باشه و پر قدرت مثل همیشه آماده دیدن آموزش این جلسه باشید. در ادامه ی آموزش های ریاضیایت عمومی 2 رسیدیم به مبحث مهم کاربرد مشتق در ادامه مبحث ریاضی 1. پس بدون فوت وقت بریم سراغ آموزش امروز.

ماکزیمم و مینیمم توابع چند متغیره:

تعریف) فرض کنید رویه f (x,y) یک تابع دو متغیره باشد که برD که مجموعه ای از نقاط x,y در صفحه ‘R است، تعریف شده باشد.

1- اگر نقطه ای  نقطه ای باشد که:

آنگاه fدر نقطه (a ,b) دارای ماکزیمم می باشد و داریم: f (a ,b) = M

2- اگر نقطه ای نقطه ای باشد که: آنگاه fدر نقطه (a,b) دارای مینیمم می باشد و داریم: f (a ,b) = m

تعریف) فرض کنید برای هر f(x, y) به اندازه کافی نزدیک به (a ,b) یعنی در همسایگی (a ,b) داشته باشیم: f(a, b) ≥ f(x, y) آنگاه f در (a, b) ماکزیمم موضعی دارد و اگر f(a, b) ≤ f(x, y) آنگاه f در (a,b) مینیمم موضعی دارد.

توجه) فقط یک max,min مطلق داریم ولی max,min موضعی زیادی می توانیم داشته باشیم.

نقاط زینی:

یعنی اگر از یک منظر نگاه کنیم نقطه را max و اگر از یک منظر دیگر نگاه کنیم نقطه را min می بینیم. به نقطه زینی minmax هم می گویند.

تعریف نقطه زینی:

فرض کنید f(x, y) یک تابع دو متغیره و مشتق پذیر باشد. f(x, y) در نقطه (a,b) دارای نقطه زینی است، هرگاه در همسایگی به مرکزیت(a ,b) نقاطی باشند که f(a, b) ≤ f(x, y) و نقاط دیگری هم موجود باشند که f(a, b) ≥ f(x, y) در این صورت را نقطه (a ,b, f(a ,b)) زینی می گویند.

تعریف) اگر (a,b) یک نقطه max یا min یا minmax باشد، آنگاه به آن نقطه، نقطه بحرانی (اکسترمم) می گوییم.

قضیه) اگر(f(x, y یک تابع دو متغیر باشد که بر مجموعه بسته و کراندار D پیوسته باشد آنگاه f بر D کراندار بوده و مقدار max و min را بر D می گیرد و داریم: 

نتیحه: برای یافتن اکسترمم های مطلق، اول باید اکسترمم های موضعی را به دست آورده و از میان آنها مطلق ها را به دست آوریم.

روش یافتن نقاط اکسترمم:

قضیه) اگر  f(x, y) یک تابع دو متغیره باشد که در (a, b) دارای یک اکسترمم موضعی باشد. در این صورت یا f در نقطه  (a, b) مشتق ناپذیر است یا وجود دارد و مساوی صفر است. 

نتیحه: منظور از صفر بودن مشتق این است که: f∇ = 0

تعبیر هندسی: اگر  f(x, y) در نقطه (a,b) اکسترمم موضعی داشته باشد، آنگاه نمودار fدر نقطه (a ,b, f(a ,b)) یا صفحه مماس ندارد (f(a,b∇ وجود ندارد یا صفحه مماس افقی دارد. ( 0 =f (a,b)∇ ) 

تعریف نقطه بحرانی: تابع f(x, y) در نقطه (a ,b) یک نقطه بحرانی (اکسترمم) دارد، هرگاه مشتق fدر (a, b) موجود نباشد همان  ((f(a,b∇یا (  0=f(a ,b)∇) باشد.

 توجه: برای nمتغیر هم تمامی روابط فوق صدق می کند.

خب رسیدیم به پایان جلسه اول از کاربرد مشتق. میدونم یکمی طولانی شد ولی بدلیل پیوسته بودن مطالب، نمیتونستم بین آموزش وقفه بندازم.

 شما میتونید برای دیدن ویذئوی آموزشی کامل این مباحث به کاانال یوتیوب ما توی این لینک مراحعه کنید. البته برای دوستانی که به یوتیوب دسترسی ندارند امکان تهیه این ویدئو از فروشگاه وبسایت مون هم فراهم هست و از این آدرس قابل تهیه است.

البته همه میدونیم که برای یادگیری کامل مطالب، همراه دیدن ویدئوی آموزشی، باید جزوه هم همراهتون باشه. برای دسترسی و تهیه جزوه ی جلسات، هم میتونید به این آدرس مراحعه کنید.

باز هم ممنون که تا پایان ما رو همراهی کردید.

منتظر خوندن نظرات شما دوستان عزیزم هستیم.

موفق باشید🍀