معادلات خط و صفحه؛ ریاضی عمومی 2 با مهندس زوارقی؛ معادله خط در فضا

با سلام و درود خدمت شما دوستان و همران عزیز. امیدوارم حال همگی خوب باشه و تا به ابنجا با من همراه بوده باشید. رسیدیم به یک فصل دیگر از ریاضیات عمومی 2، مبحث معادلات خط و صفحه و بخش معادله خط در فضا.

اگر آماده اید بریم شروع کنیم:

هندسه تحلیلی یکی از شاخه‌های مهم ریاضیات است که به بررسی ویژگی‌های اشکال هندسی با استفاده از معادلات جبری می‌پردازد. در این حوزه، معادلات خط و صفحه نقش کلیدی در توصیف و تحلیل روابط بین نقاط، خطوط و سطوح در فضا دارند.

معادله‌ی یک خط در صفحه دکارتی به ما نشان می‌دهد که چگونه دو متغیر مستقل (مثلاً x و y) به هم مرتبط هستند، در حالی که معادله‌ی صفحه در فضای سه‌بعدی رابطه‌ی بین سه متغیر (مثلاً x, y, z) را بیان می‌کند. این معادلات نه تنها در ریاضیات، بلکه در فیزیک، مهندسی، علوم کامپیوتر و حتی هوش مصنوعی کاربردهای گسترده‌ای دارند.

در ادامه، ابتدا به بررسی معادله خط در صفحه و فضا پرداخته، سپس معادله صفحه را تحلیل خواهیم کرد و در نهایت روش‌های حل مسائل مرتبط با آن‌ها را معرفی خواهیم نمود.

خط و معادله آن در فضا: در فضا دو نوع معادله خط داریم: معادلات متقارن و معادلات پارامتری هر خط در فضا با یک نقطه و یک بردار موازی آن که بردار هادی خط نامیده می شود، مشخص می شود.

معادلات متقارن به قرار زیر است:

مثال) معادلات متقارن خطی را بنویسید از نقطه A(1 , -1, 4) عبور کرده و موازی L( -1,2 ,3) باشد. 

بعضی وقتها بردار هادی خط را مستقیما” نمی دهند و باید خودمان به دست آوریم.

مثال) معادلات متقارن خطی را بنویسید که از دو نقطه A(1 , -1,2 ),B( 0, 1,4 ) عبور کند.

حل) AB موازی این خط است. پس داریم: (1,2,2-) = AB = B -A

حال یکی از نقاط AB یا را انتخاب می کنیم: (فرقی نمی کند)

اگر نقطه را انتخاب کنیم شاید در ظاهر با معادله بالایی فرد کند اما در باطن یکی است.

کافی است نشان دهیم که خط (1) از نقطه B و خط (2) از نقطه A عبور میکند. کافیست مختصات B را در خط (1) و مختصات A را در خط (2)  قرار دهیم:

پس A هم در این خط صدق می کند.

مثال) بردار هادی خط زیر را به دست آورید.برای دیدن جواب این مثال و توضیحات بیشتر به ویدئوی این جلسه توی این لینک و این لینک مراجعه کنید.

معادلات پارامتری خط:

نکته) در معادلات پارامتری، ضرایب t مختصات بردار هادی را تشکیل می دهند مشروط بر آن که ضرایب x, y, z یک باشد.

خب این هم از جلسه ی امروز مون. امیدوارم براتون مفید بوده باشه. یادتون نره که جزوه این جلسه رو از فروشگاه وبسایت مون توی این آدرس تهیه کنید.

منتظر خوندن نظرات سازنده شما عزیزان زیر همین پست هستیم.

موفق باشید