آمورش کامل جبر خطی؛ تعریف میدان؛ جلسه 2

عرض ادب و احترام خدمت دوستان عزیزم؛ امیدوارم حال دل همگی خوب باشه و در مسیر رسیدن به اهداف تون همچنان مستمر و پیگیر باشید. مبحثی که امروز قصد داریم به اون بپردازیم تعریف میدان هست. تا پایان این جلسه همراه ما باشید.

تعریف میدان 

مجموعه F را همراه با دو عمل جمع و ضرب که به ازای هر دو عضو x, y از F به ترتیب به صورت x.y , x+ y نمایش داده میشوند، میدان میگوییم، هرگاه خواص زیر را داشته باشد:

 برای هر x,y ∈ F داشته باشیم: x.y ∈ F , x+ y ∈ F (خاصیت بسته بودن نسبت به اعمال جمع و ضرب)

برای هر x,y ∈ F داشته باشیم:  x + y = y + x (خاصیت جابجایی نسبت به عمل جمع)

برای هر x,y, z ∈ F داشته باشیم:  x + (y + z) = (x +y) + z خاصیت خاصیت شرکت پذیری نسبت به عمل جمع

یک عنصر منحصر به فرد موجود باشد، به گونه ای که به ازای هر x ∈ F داشته باشیم:  (عضو خنثی نسبت به عمل جمع)

برای هر x ∈ F یک عنصر منحصر به فرد موجود باشد، به گونهای که به ازای هر x ∈ F داشته باشیم: x + (-x) = (-x) + x = 0 (عضو قرینه نسبت به عمل جمع)

به ازای x,y,z ∈ F هر داشته باشیم: x.y= y.x (خاصیت خاصیت شرکت پذیری نسبت به عمل ضرب)

به ازای هر x,y,z ∈ F داشته باشیم: ( خاصیت خاصیت شرکت پذیری نسبت به عمل ضرب)

عضو ناصفر و منحصر به فرد وجود داشته باشد، به گونه ای که به ازای هر x ∈ F داشته باشیم: x.1 = 1.x = x

عضو ناصفر و منحصر به فرد x^-1 ∈ F وجود داشته باشد، به گونه ای که x . x^-1 = x^-1.x =1 (عضو قرینه در عمل ضرب)

به ازای هر x,y,z ∈ F داشته باشیم: x.(y z) = x.y + x.z (بخش پذیری عمل ضرب نسبت به عمل جمع)

میدان های متناهی

مجموعه 0.1.2.3.4 = z₅ همراه با اعمال جمع و ضرب به پیمانه ،5یک میدان متناهی است.

زیرا:

* اگر p یک عدد اول باشد، آنگاه z_{p =}0,1,2,…p  تحت اعمال جمع و ضرب به پیمانه p یک میدان متناهی است.

اعداد حقیقی و گویا، میدانهایی با مشخصه صفر و به ازای هر عدد اول p, z_p میدانی با مشخصه p است.

اگر a ∈ F را داشته باشیم و n کوچکترین عدد صحیح مثبتی باشد که n a =0 آنگاه یک میدان با مشخصه n داریم.

خب دوستان عزیزم جلسه امروز فقط جنبه تعریف داشت که امیدوارم یادآوری خوبی براتون بوده باشد.

برای دریافت جزوه این فصل و مطالعه بیشتر مطالب می توانید به این لینک در فروشگاه وبسایت ما مراجعه فرمایید. البته که همزمان با مطلعه جزوه از محتوای آموزش ویدئویی هم غافل نشید که دو راه برای استفاده از این آموزش براتون مهیا کردیم. هم از طریق لینک کانال یوتیوب مان و هم از طریق تهیه از این آدرس در فروشگاه وبسایت.

از اینکه این جلسه هم ما را همراهی کردید سپاسگزاریم.

موفق باشید.