محاسبات عددی؛ حل معادلات عددی؛ روش ناجابجایی؛ جلسه 4

درود و وقت بخیر خدمت دوستان عزیزم؛ امیدوارم در این ر.وزهای گرم و طاقت فرسای تابستان، طاقت شما برای مطالعه و ادامه آموزش ها همچنان پابرجا باشد. این جلسه قصد داریم به حل معادلات عددی با کنک روش ناجابجایی بپردازیم.

روش ناجابجایی (Interpolation) یکی از تکنیک‌های مهم در محاسبات عددی است که به کمک آن می‌توان مقادیر تابع را در نقاطی که داده‌های مستقیمی از آن‌ها در دست نیست، تقریب زد. این روش با استفاده از نقاط شناخته‌شده، یک تابع تقریب یا منحنی می‌سازد که به وسیله آن می‌توان مقادیر تابع را در نقاط میانی یا دلخواه تخمین زد. ناجابجایی کاربرد گسترده‌ای در مهندسی، علوم داده، مدل‌سازی و تحلیل مسائل علمی دارد و از پایه‌های اساسی تحلیل عددی به شمار می‌رود.

روش ناجابجایی

دو نقطه A و B واقع بر منحنی را با یک خط مستقیم به هم وصل می کنیم.
محل تلاقی این خط با محور Xها را به عنوان اولین تقریب α یعنی X₁ در نظر می گیریم. چون ریشه بین X_{1  و} b است، مجدداً با یک خط مستقیم دو نقطه B و C بر روی منحنی را به هم وصل می کنیم. و محل تلاقی این خط با محور x ها را با X₂ یعنی دومین تقریب ریشه در نظر می گیریم. تا جایی این کار را ادامه می دهیم تا به ریشه αنزدیک تر شویم.

برای تعیین X₁ ابتدا معادله خط AB را می نویسیم.

نقطه ( X_1.0) بر روی خط فوق است، پس باید در معادله خط صدق کند.

با توجه به اینکه ریشه در فاصله [a, X₁] یا [b, X₁] قرار دارد عمل فوق را در یکی از فاصله های مذکور تکرار می کنیم. حالتهای زیر را داریم :

1. اگر  0 > f(a)f(x) باشد، آنگاه ریشه در (a,x) است. لذا قرار می دهیم b = x  و x جدید را از رابطه (*) حساب می کنیم.
2. اگر  0 < f(a)f(x) باشد، آنگاه ریشه در (x,b) است. لذا x = a و x جدید را از رابطه (*) بدست می آوریم.
3. اگر  0 = f(a)f(x) آنگاه ریشه برابر x بوده و کار تمام است.

فکر میکنم اینجا آوردن یک مثال بهتون کمک کنه.

مثال1) تقریبی از ریشه معادله f(x) = 3x -e^-x را به روش نابجایی با سه رقم اعشار بدست آورید. این ریشه در فاصله (0.27 و 0.25) قرار دارد. محاسبات را تا جایی ادامه دهید که

حل این مثال رو هم با هم بببینیم:

که می بینیم بنابراین X₁ یک تقریب ریشه است و با سه رقم اعشار داریم: α ≅ 0/258

که در روش دو بخشی هم این را بدست آوردیم.

خب دوستان عزیزم جلسه 4ام از فصل دو را در همین جا جمع بندی می کنیم و امیدوارم با مطالعه کامل جزوه و همراهی آن با محتوای آموزش ویدئویی نتیجه رضایت بخش از این نوع آموزش ما داشته باشید.

برای دریافت جزوه این فصل می توانید به این لینک مراجعه کنید و همزمان برای دریافت محتوای ویدئوی این فصل به این آدرس مراجعه کنید. الته که دستیابی به هر جلسه آموزشی از این لینک در کانال یوتیوب ما هم امکانپذیر است.

از همراهی شما سپاسگزاریم. منتظر دریافت کامنتهای پر مهر شما عزیزان هستیم.

موفق باشید.