متغیرهای تصادفی پیوسته؛ آمار و احتمال مهندسی؛جلسه 4

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم. امیدوارم حال دلتون عالی باشه. در ادامه مباحث متغیرهای تصادفی، امروز می‌خواهیم مبحث متغیرهای تصادفی پیوسته را با هم بررسی کنیم. اول بری یک مقدمه وتاه در این باره با هم ببینیم و بعد بریم سراغ اصل مطلب داخل جزوه.

در دنیای آمار و احتمال، «متغیرهای تصادفی» ابزارهایی هستند که به ما کمک می‌کنند عدم قطعیت پدیده‌ها را به صورت عددی مدل‌سازی کنیم. این متغیرها در دو دسته‌ی کلی قرار می‌گیرند: گسسته و پیوسته. در حالی‌ که متغیرهای گسسته تنها مقادیر مشخص و قابل شمارشی مانند تعداد افراد یا تعداد پرتاب‌های موفق را می‌پذیرند، متغیرهای تصادفی پیوسته می‌توانند مقدارهای بی‌نهایت و غیرقابل شمارش در یک بازه‌ی مشخص را بپذیرند.

برای مثال، اگر بخواهیم زمان انتظار برای رسیدن یک اتوبوس را مدل کنیم، این زمان می‌تواند هر مقداری بین ۰ تا مثلاً ۲۰ دقیقه باشد، از جمله ۷.۳۴ یا ۱۲.۸۹ دقیقه. این یعنی زمان انتظار یک متغیر پیوسته است، زیرا می‌تواند هر عدد حقیقی در یک بازه را به خود بگیرد.

در این مقدمه با مفاهیم پایه‌ای پیرامون متغیرهای تصادفی پیوسته آشنا خواهیم شد، از جمله:

تابع چگالی احتمال (PDF)
تابع توزیع تجمعی (CDF)
ویژگی‌های کلیدی مانند امید ریاضی و واریانس
و نمونه‌هایی از توزیع‌های معروف مانند نرمال، نمایی و یکنواخت

درک این مفاهیم پایه برای تحلیل آماری داده‌ها، یادگیری ماشین، علوم داده و مدل‌سازی‌های ریاضی در حوزه‌هایی مانند اقتصاد، مهندسی و علوم اجتماعی اهمیت فراوانی دارد.

تابع چگالی احتمال

احتمال اینکه یک متغیر تصادفی پیوسته دقیقا یکی از مقادیر خود را اختیار کند، برابر صفر است. به عبارت دیگر اگر Xیک متغیر تصادفی پیوسته باشد، آنگاه:

P( x= a) = 0

این موضوع در ابتدا عجیب به نظر می رسد. فرض کنید متغیر تصادفی نشان دهنده طول قد افراد 21 سال به بالا باشد بین هر دو طول قد مانند 17۰ و 180۰ سانتی متر بی نهایت طول قد وجود دارد. که یکی از آنها طول قد 175 سانتی متر است. در نتیجه احتمال اینکه طول قد یک شخص 21سال به بالا دقیقاً 175 سانتی متر باشد، صفر است. پس داریم:

به عبارت دیگر اگر متغیر تصادفی X پیوسته باشد، از احتمال در فاصله بحث خواهد شد و مهم نیست نقاط انتهایی فاصله منظور شده یا منظور نشده است و چون احتمال در هر نقطه صفر است، لذا امکان نوشتن تابع احتمال به صورت جدول وجود ندارد و فقط با فرمول می توان تابع احتمال را مشخص کرد.

نکته) در حالتی که متغیر تصادفی، پیوسته باشد، تابع احتمال را تابع چگالی احتمال می نامیم.

تعریف: تابع ( f (x را یک تابع چگالی احتمال برای متغیر تصادفی X روی تمام اعداد حقیقی می نامیم، اگر داشته باشیم:

مثال ) متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی احتمال زیر است:

اجازه بدید جواب این مثال را بنویسم.

دوستان عزیزم این جلسه را با همین مثال به پایان می رسونیم. برای دیدن توضیحات کامل این جلسه می‌توانید به این لینک در کانال یوتیوب ما و این آدرس در وبسایت ما مراجعه کنید. البته که همزمان با دیدن محتوای آموزش ویدئویی به این لینک مراجعه کنید و جزوه را تهیه کنید.

باز هم ممنون که تا پایان ما را همراهی کردید.

موفق باشید.