حل معادلات مشتقات جزئی با معادله لاپلاس؛ ریاضیات مهندسی؛ جلسه 25

سلام و عرض ادب و احترام خدمت دوستان عزیزم؛ امیدوارم حال دلتون عالی باشه. امروز در ادامه مبحث مشتقات جزئی قصد داریم به حل معادلات با کمک معادله لاپلاس بپردازیم. در ادامه همراه ما باشید.

معادله لاپلاس یکی از مهم‌ترین معادلات مشتقات جزئی در ریاضیات و فیزیک است که در مدل‌سازی پدیده‌های متنوعی مانند انتقال حرارت، پتانسیل الکتریکی و جریان سیالات کاربرد دارد. این معادله، که به افتخار ریاضیدان فرانسوی پیر-سیمون لاپلاس نام‌گذاری شده، به دلیل ویژگی‌های خاص خود، ابزار قدرتمندی برای تحلیل مسائل با شرایط مرزی مشخص فراهم می‌کند. در این مقاله، قصد داریم به کمک این معادله معادلات مشتقات جزئی را حل کنیم. 

معادله لاپلاس (پتانسیل)

معادله لاپلاس در مختصات دکارتی به صورت زیر قابل بیان است:

1) معادله لاپلاس در مختصات قطبی به شکل زیر نمایش داده می شود:

2) معادله لاپلاس در مختصات استوانه ای به صورت زیر قابل بیان است:

3) معادله لاپلاس در مختصات کروی به صورت زیر نمایش داده می شود:

حالا با هم بریم یک مثال و حل کنیم و بقیه مثال‌ها را شما حل کنید و بعد برای دیدن جواب صحیح و توضیحات کافی به لینک ویدئوی آموزشی در وبسایت ما مراجعه کنید. البته فراموش نکنید که دیدن محتوای خالی بدون جزوه به شما در امر موزش کمک کننده نخواهد بود. پس حتما جزوه را از این لینک تهیه کنید.

مثال) هرگاه پتانسیل موجود در روی بدنه دو استوانه طویل و هم محور به شعاعهای قاعده 1 و e به ترتیب 110 و  220 ولت باشد و معادله لاپلاس در مختصات قطبی به صورتباشد، آنگاه پتانسیل موجود بین دو استوانه برابر کدام است؟

حل) چون پتانسیل به θ بستگی ندارد در معادله لاپلاس داریم:

همانطور که گفتم مثال‌های دیگه هم توی جزوه براتون آوردم که لطفا اول جوابشون رو پیدا کنید بعد برای چک کردن به لینک آموزش ویدئویی مراجعه کنید.

از اینکه باز هم تا انتهای جلسه ما را همراهی کردید، سپاسگزارم.

موفق باشید.