قضیه استوکس به زبان ساده با مهندس زوارقی؛ ریاضی عمومی 2

عرض احترام و درود خدمت همه دوستان عزیزم. امیدوارم حال همگی خوب باشه و در مسیر رسیدن به خواسته ها و اهداف تون همچنان مشتاق باشید. در ادامه مباحث ریاضی 2 امروز می خواهیم قضیه دیگری را با هم بررسی کنیم: قضیه استوکس.

مقدمه‌ای بر قضیه استوکس

در دنیای ریاضی، بسیاری از قضایا پلی میان مفاهیم مختلف ایجاد می‌کنند و درک ما را از ساختارهای پیچیده عمیق‌تر می‌سازند. قضیه استوکس یکی از این قضایای بنیادی در ریاضیات برداری و هندسه دیفرانسیل است که ارتباطی زیبا میان انتگرال‌گیری روی یک سطح و انتگرال‌گیری روی مرز آن سطح برقرار می‌کند.

این قضیه نه تنها در حوزه‌های مختلفی مانند فیزیک، مهندسی و تحلیل برداری کاربرد دارد، بلکه یکی از نقاط عطفی است که نشان می‌دهد چگونه انتگرال‌های خطی، سطحی و مفاهیم دیفرانسیلی در قالب یک رابطه واحد با هم پیوند می‌خورند. با فهم دقیق این قضیه، می‌توان دید عمیق‌تری نسبت به جریان‌ها، میدان‌های برداری، و چگونگی تغییرات آن‌ها در فضا به‌دست آورد.

در این نوشته، با بیانی ساده به معرفی قضیه استوکس، مفاهیم پیش‌نیاز آن، و نمونه‌هایی از کاربردهایش خواهیم پرداخت. با این مقدمه کوتاه بریم سراغ مطالب جزوه.

اگر S یک سطح قطعه هموار و غیر بسته در فضای سه بعدی باشد و C مرز بسته آن باشد که یک بار در جهت مثلثاتی طی شده است و همچنین n بردار قائم رو به خارج سطح باشد، آنگاه با فرض اینکه کرل F در ناحیه S پیوسته باشد (یعنی مشتقات F روی سطح و مرز S پیوسته باشد) تساوی زیر را داریم: برای اینکه این موضوع براتون جا بیفته، یک مثال رو با هم حل کنیم:

مثال) اگر C مرز منحنی باشد که در جهت مثبت طی شده است و از طرفی داریم:

آنگاه حاصل کدام است؟

حل)

با استفاده از قضیه استوکس داریم:

من جواب رو اینجا براتون میذارم ولی حتما برای دیدن توضیحات کامل این مثال به ویدئوی آموزشی مراجعه کنید. از این لینک میتوانید به محتوای آموزشی در وبسایت ما دسترسی داشته باشید. اگر هم که به کانال یوتیوب ما دسترسی داشته باشید، این آدرس هم براتون قابل دسترسی هست. در کنار این ها حتما به جزوه هم اهمیت بدید و از این لینک اون رو تهیه کنید.