نگاشت؛ ریاضیات مهندسی با مهندس زوارقی؛ جلسه2

سلام و عرض ادب خدمت شما دوستان عزیزم، امیدوارم حال دلتون عالی باشه. رسیدیم به یک مبحث دیگه از ریاضیات مهندسی. بریم پر قدرت این جلسه رو هم شروع کنیم. فقط یک توضیح و اونم اینکه جلسه اول این فصل توی جزوه به تمرین اختصاص داده شده و من ترجیح دادم این فصل رو از جلسه دوم شروع کنم. با من همراه باشید.

در دنیای ریاضیات مهندسی، مفهوم نگاشت (Mapping) یکی از اصول اساسی برای درک بسیاری از پدیده‌های فیزیکی و ریاضی است. این مفهوم در ساده‌ترین تعریف، تابعی است که هر عنصر از یک مجموعه را به عنصری در مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. این مفهوم پایه و اساس بسیاری از موضوعات مهندسی مانند آنالیز مختلط، تبدیل‌های انتگرالی، معادلات دیفرانسیل و حتی پردازش سیگنال را تشکیل می‌دهد.

در کاربردهای مهندسی، این مفاهیم به ما کمک می‌کنند تا مسائل پیچیده را به فضایی ساده‌تر انتقال دهیم، جایی که حل آن‌ها آسان‌تر است. برای مثال، نگاشت مختلط در آنالیز ریاضی به ما اجازه می‌دهد که معادلات دیفرانسیل پیچیده را با تغییر مختصات ساده‌تر کنیم. همچنین، در پردازش تصویر و یادگیری ماشین، نگاشت ویژگی‌ها از یک فضای ورودی به فضایی جدید نقش مهمی در بهبود دقت مدل‌ها دارد.

در ادامه این مقاله، انواع مختلف، ویژگی‌های آن‌ها و کاربردهای عملی در مهندسی بیشتر آشنا خواهیم شد. اگر علاقه‌مند به درک عمیق‌تر این مفهوم هستید، همراه ما باشید!

برای بررسی عملکرد توابع مختلط روی نواحی گوناگون به دو صفحه w, z نیاز داریم و داریم: 

                                                                                                                                                                  W = f(z)= u + iv   ,     z = x + iy

در حالت کلی عملکرد f(z) به این صورت است که هر نقطه Z_o در D به نقطه (W_o = f (Z_o در صفحه نگاشته w می شود.

مثال) تصویر میدان تحت نگاشت W = z² + i  را به دست آورید.

و اما بریم انواع نگاشت را با هم بررسی کنیم:

یک به یک: نگاشت W = f(z) یک به یک است، اگر و تنها اگر تصویر هر نقطه دلخواه Z_o که متعلق به دامنه آن است، فقط یک جواب یا یک تصویر در w داشته باشد. بنابراین شرط یک به یک بودن W = f(z) این است که هرگاه w₁ = w₂ باشد، آنگاه

z₁ = z₂  است.

 همدیس: هرگاه تحت نگاشت W = f(z) هر زاویه به راس Z_o از صفحه x – y بدون هیچ گونه تغییری از نظر اندازه و جهت به زاویه ای به راس (W_o = f (Z_o در صفحه u – v منتقل شود، آنگاه نگاشت را در نقطه Z=Z_o همدیس می نامیم. 

برای اینکه تابع تحلیلی W = f(z) همدیس باشد، باید شرط 0 ≠F’(z_o) برقرار باشد.

 همانی : w = f(z) =z این تابع هر شکل را بدون تغییر منتقل می کند و واضح است که این نگاشت، نگاشتی همدیس است.

 انتقال  w = z + b: (b یک عدد مختلط است).

این نگاشت هر نقطه یا شکل را در جهت بردار b و به اندازه b منتقل میکند. واضح است که این نگاشت همدیس است.

 w = az: و a = re^iθ (که a مخالف صفر است). انبساط یا انقباضی به اندازه r و دورانی به اندازه θ در هر نقطه که z قرار دارد، منتقل شود. اگر شکل منبسط و اگر باشد، شکل منقبض می شود.

یعنی هر نقطه در مختصات قطبی به صورت (r_1, θ₁) به نقطه ای به مختصات (θ+θ₁ ,r.r₁)  تبدیل می شود. در ضمن این نگاشت همدیس است. به مثال زیر توجه فرمایید:

                                                                                                                                                                                                        w = iz

 W = az + b:

این نوع ترکیبی از دو نگاشت w₁ = az  , w₂ = w₁ + b است که میتواند به ترتیب صورت بگیرد. این نگاشت همدیس است.

نقطه ای مانند z₁  که طول شعاع آن از مبدا برابر r₁ و زاویه آن با محور xها θ₁ است،  تحت نگاشت w = az + b به این صورت است که ابتدا توسط نگاشت (با فرض) فاصله شعاع از مبدا به اندازه بیشتر می شود و سپس تحت نگاشت w₂ = e^iArga به اندازه Arga زاویه آن با محور x ها اضافه شده و نقطه از w_{1 به} w₂  منتقل و در نهایت به اندازه b منتقل می شود.

میدونم که فهم مطالب براتون سنگین بود برای همین میخوام دوتا توصیه مهم براتون داشته باشم:

اول اینکه حتما برای دیدن ویدئوی این آموزش به کانال یوتیوب ما در این لینک مراجعه کنید.

مورد بعدی اینکه حتما جزوه مربوط به این فصل رو از فروشگاه وبسایت مون توی این لینک تهیه کنید.

و اما موضوع مهم اینکه شما بهترین کمکی که می تونید به ما بکنید اینه که زیر هر پست نظرتون رو قید کنید تا ما از کیفیت روند کارمون مطلع بشیم. پس منتظرتون هستیم.

تا جلسه بعدی

موفق باشید!