آمار و احتمال مهندسی؛ معرفی تابع گاما؛ جلسه 19

درود و عرض ادب خدمت دوستان عزیز؛ امیدوارم حال دلتون عالی باشه. بریم بدون فوت وقت به مبحث امروز که معرفی تابع گاما هست بپردازیم. با ما همراه باشید.

معرفی تابع گاما

تابع گاما یکی از توابع پرکاربرد در آمار و احتمال است که تعمیمی از تابع فاکتوریل برای اعداد حقیقی و مختلط مثبت به‌شمار می‌رود. این تابع به‌ویژه در توزیع‌های پیوسته مانند توزیع گاما و توزیع کای‌دو ظاهر می‌شود و نقش مهمی در مدل‌سازی پدیده‌های تصادفی دارد.

تعریف: تابع گامای αرا با نماد  نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف میکنیم:

محاسبه انتگرال فوق به ازای α های مختلف دشوار است. وقتی جدول موجود است و برای از رابطه زیر محاسبه می کنیم: 

اثبات می کنیم:

برای این اثبات چند مثال براتون داخل جزوه قرار دادیم که حتما برای دیدن اونها به جزوه این جلسه از این لینک مراجعه کنید. داخل محتوای ویدئویی هم تمام نکات لازم با جزئیات براتون توضیح داده شده و براحتی از این لینک قابل تهیه هست. داخل کانال یوتیوب ما هم هر جلسه به تفکیک قابل دسترسی هست. مثل همین جلسه در این لینک.

این هم از مثالهای این جلسه:

مثال) مقادیر زیر را بدست آورید:

خب این جلسه رو ادامه بدیم با مبحث توزیع گاما.

توزیع گاما 

اگر در فرآیند پوآسون (تعداد اتفاقات نادر در یک فاصله زمانی) متغیر تصادفی X مدت زمان لازم جهت رخ دادن α امین اتفاق باشد، آنگاه متغیر تصادفی X دارای توزیع گاماست و آن را با نماد که در اینجا میانگین تعداد اتفاقات بر اساس یک فرایند پوآسون است.

بریم یک مثال با هم ببینیم؟

مثال) فرض کنید در هر ساعت به طور متوسط 30 اتومبیل وارد پارکینگ می شوند احتمال آنکه مامور پارکینگ حداقل پنج دقیقه منتظر بماند تا دومین اتومبیل وارد شود چقدر است؟

حل این مثال هم ببینیم:

خب این هم از مطالب جلسه امروز.

باز هم  ممنون که امروز هم ما را همراهی کردید. منتظر دریافت نظرات سازنده شما عزیزان همراه هستیم.

موفق باشید.