معادله گرما در مشتقات جزئی ریاضیات مهندسی ؛ جلسه 10

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم؛ امیدوارم حال دلتون عالی باشه. در ادامه مباحث ریاضیات مهندسی امروز قصد داریم به معادله گرما بپردازیم. در ابتدا بریم یک مقدمه کوتاه ببینیم و بعد با مطالب اصلی جزوه در خدمت شما خواهیم بود. تا انتها همراه ما باشید.

معادله گرما یکی از مهم‌ترین معادلات ریاضی در حوزه مهندسی و علوم کاربردی است که توزیع دما را در محیط‌های مختلف توصیف می‌کند. این معادله، چگونگی انتشار گرما در یک جسم را برحسب زمان و مکان مشخص می‌سازد و ابزار کلیدی مهندسان و دانشمندان برای تحلیل مسائل انتقال حرارت، طراحی مبدل‌های حرارتی، عایق‌سازی، و بسیاری از کاربردهای دیگر به‌شمار می‌رود.

معادله گرما

فرض کنید میله ای داریم که طولش از صفر تا L است و داریم:

k: رسانندگی گرما

ρ: چگالی ماده جسم

c^{2 : پخشندگی گرمایی}

σ : گرمای ویژه

حال شرایط مرزی و اولیه زیر را داریم: (در این شرایط دما در ابتدا و انتهای میله برابر صفر است.)

u(0,t) =  ,        u(L,t) = 0     t ≥ 0      ,        u(x,0) = f(x)

u(x,0) = f(x) یعنی دما در زمان صفر روی رابطه (f(x صدق می کند. جواب این مثال رو باید خودت اول نگاه کنی و بعد بنویسی: 

ببیینم حل این مثال به چه صورت هست.

برای دیدن حل کامل مساله از طریق آموزش ویدئویی به لینک ویدئوی این جلسه مراجعه فرمایید. فراموش نکنید همزمان از جزوه هم استفاده کنید. برای تهیه جزوه می توانید به این لینک مراجعه کنید. در جلسات بعدی مثال های بیشتری قرار دادیم تا بر موضوع اشراف کامل پیدا کنید.

باز هم ممنون که ما را همراهی کردید. با نوشتن نظرات سازنده ما را در ادامه مسیر همراهی کنید.

موفق باشید.