آموزش مشتق با مهندس زوارقی؛ ریاضی عمومی 1؛ معادلات خط مماس و قائم

سلام خدمت شما دوستان عزیزم. امیدوارم حال همگی خوب باشه و با خیال راحت در مسیر آموزش باشید.

در ادامه مبحث مشتق رسیدیم به معادلات خط مماس و قائم. بدون معطلی بریم برای شروع. لطفا با من همراه باشید.

فرض کنید خط d منحنی C را در نقاط A,B قطع کند. به دو روش می توانیم این خط را بر منحنی مماس بدانیم.

خط d را به موازات خود در جهتی انتقال دهیم که A,B مرتبا بهم نزدیک شوند. در حالتی که A,Bب ر هم منطبق شوند، خط  d تبدیل به خط مماس بر منحنی C می شود.

خط d را حول نقطه ی Aدوران دهیم تا نقطه ی B مرتبا به نقطه ی A نزدیک شود. در وضعیت حدی، اگر B بر A منطبق شود، خط d تبدیل به خط مماس بر منحنی C می شود. به اشکال زیر توجه فرمایید:

 پس بنا به توضیحات و شکلهای فوق می توان گفت، خط مماس بر منحنی، خطی است که منحنی را در دو نقطه ی واقع بر هم قطع کند.

خط قائم بر منحنی:

خط قائم بر یک منحنی خطی است که بر مماس بر منحنی در آن نقطه عمود باشد. ب نابر این اگر ضریب زاویه مماس بر منحنی در نقطه ی Aواقع بر منحنی mباشد، ضریب زاویه قائم بر منحنی در این نقطه برابر است.

نقاط تقاطع و تماس دو منحنی:

اگر معادله دو منحنی را با هم قطع کنیم!!( yها را حذف کنیم!!) و معادله حاصل را بر حسب x رسم کنیم! به آن معادله تقاطع می گوییم. ریشه های ساده معادله تقاطع ، طولهای نقاط تقاطع دو منحنی و ریشه های مضاعف معادله تقاطع طولهای نقاط مماس دو منحنی است. بنابراین برای آنکه دو منحنی یا یک خط و یک منحنی بر هم مماس باشند، بایستی معادله تقاطع ریشه مضاعف داشته باشد. 

معادله خط مماس بر منحنی در نقطه ای واقع بر آن:

برای پیدا کردن معادله خط مماس بر منحنی در نقطه ای واقع بر آن، مراحل زیر را انجام می دهیم:

1. مختصات نقطه را از روی معادله منحنی تکمیل می کنیم.
2. با استفاده از مشتق به ازای مختصات نقطه ی تماس، ضریب زاویه ی خط مماس بر منحنی را بدست می آوریم.
3. با داشتن مختصات یک نقطه و ضریب زاویه آن، معادله مماس را به صورت زیر می نویسیم.

y – y₀ = m( x – x₀)

برای نوشتن معادله ی خط قائم در این حالت، شبیه معادله ی مماس، عمل می کنیم. با این تفاوت که پس از تعیین m  مماس از روی مشتق داریم:

توی جزوه برای این مبحث کلی سئوال و تست براتون طراحی کردم بهمراه توضیح تشریحی پاسخ اونها که توی کانال یوتویب میتونید از این لینک این آموزش رو ببینید و ازش استفاده کنید. جزوه این مبحث هم بهمراه تستها خیلی تمیز و مرتب بصورت تایپ شده از فروشگاه وبسایت مون توی این آدرس قابل تهیه است.

خب بریم یک مثال هم براتون بذارم و این جلسه رو همینجا به پایان برسونیم.

مثال: خط مماس بر منحنی به معادله ی y = √2x.e^2-x در نقطه ای به طول 2واقع بر آن، محور y ها را با کدام عرض قطع می کند؟ 

1) 3                              2) 4

3) 5                              4) 6