محاسبات عددی؛ حل عددی معادلات دیفرانسیل با مهندس زوارقی؛ جلسه 1 روش تیلور

سلام روز شما بخیر. به فصل 5ام از محاسبات عددی خوش آمدید. توی این فصل قصد داریم به انواع روش های عددی معادلات دیفرانسیل بپردازیم.  اولین روش که با همبرسی می کنیم روش تیلور هست. بریم با هم شروع کنیم:

یک معادله دیفرانسیل از مرتبه p در حالت کلی برابر است با:

و منظور از حل آن، پیدا کردن تابع (y = y(x است که در معادله فوق صدق می کند. در درس معادلات دیفرانسیل وقت زیادی صرف تجزیه و تحلیل و یادگیری فنون و روشهای تحلیلی برای به دست آوردن جواب آنها می شود. این کار با دسته بندی معادلات انجام می گیرد و نشان داده می شود که دسته خاصی از معادلات را می توان به روش تحلیلی حل کرد. اما، همانند وجود تابع اولیه برای توابع، معادلات دیفرانسیل فراوانی وجود دارند که نمی توان به روشهای تحلیلی موجود جواب آنها را به دست آورد. حتی در مواقعی که می توان جواب تحلیلی معادلات را به دست آورد، این جواب ممکن است دارای فرم پیچیده ای باشد. مثلا جواب معادله دیفرانسیل:

به صورت می باشد که پس از محاسبات زیادی به دست می آید.

روش تیلور:

الگوریتم روش تیلور از مرتبه :

برای پیدا کردن جواب تقریبی معادله دیفرانسیل مرتبه اول y’=f(x,y) با شرط  Y(x₀)=y₀  در فاصله [a,b] به ترتیب زیر عمل می کنیم:

 1- فاصله [a,b] را به N قسمت مساوی به طول تقسیم کرده و قرار می دهیم.

X₀ = a    ,     x_N = b   ,    y(x_n) = y (a+nh)  ,   x_n = a + nh

با داشتن y_n  مقدار تقریبی Y(x_n+1)  یعنی  y_n+1 از فرمول زیر به دست می آوریم:

مثال 1) با استفاده از روش تیلور مرتبه ۴مطلوب است برآورد ( 5/ 0) y مشروط به اینکه داشته باشیم:

برای حل این مورد را یادآوری می کنم:

برای دیدن حل این مثال حتما به جزوه این فصل از این لینک مراجعه کنید. حتما به خاطر دارید که برای نتیجه گرفتن از آموزش ها، ویدئوهای این فصل رو از این لینک ملاحظه کنید.

ما هچنان منتظر خواندن نظرات سازنده شما هستیم. 

موفق باشید