آموزش کامل و رایگان جبرخطی ؛ ماتریسهای هرمیتی؛ فصل دوم؛ جلسه 11

درود و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم؛ میدوارم حال دلتون عالی باشه و شرایط بیرونی تاثیری در روند فعالیتهای هدفمند شما نداشته باشه. بریم آخرین جلسه از فصل دوم را هم با هم مرور کنیم و  ماتریسهای هرمیتی را مطالعه کنیم.

ماتریس‌های هرمیتی به‌عنوان زیرمجموعه‌ای از ماتریس‌های مربعی مختلط، از جایگاه ویژه‌ای در جبر خطی و شاخه‌های مختلف ریاضیات کاربردی برخوردارند. ویژگی اصلی این ماتریس‌ها تساوی آن‌ها با هم‌نهشتی مزدوج مختلط خویش است؛ خاصیتی که منجر به حقیقی بودن مقادیر ویژه و امکان متعامدسازی بردارهای ویژه می‌شود. این خصوصیات سبب شده است تا ماتریس‌های هرمیتی نه‌تنها در مباحث نظری جبر خطی، بلکه در فیزیک ریاضی، به‌ویژه در مکانیک کوانتومی، به‌عنوان ابزاری بنیادی در توصیف عملگرهای مشاهده‌پذیر به کار گرفته شوند.

ماتریسهای هرمیتی

ماتریس هرمیتی با ترانهاده مزدوج مختلطش برابر است. به ماتریس زیر و ویدیو مربوطه دقت کنید.

پس شرط اینکه یک ماتریس هرمیتی باشد آن است که:

• اولاً ماتریس باید مربعی باشد
• دوماً عناصر روی قطر اصلی باید عدد حقیقی باشد
• سوماً درایههای مختلط نسبت به قطر اصلی باید مزدوج باشند.

بنا به توضیحات بالا داریم:

جمع دو ماتریس هرمیتی، هرمیتی است و ضرب دو ماتریس هرمیتی، زمانی هرمیتی است که:

AB = BA

اثبات:

و اما:

چند خاصیت مهم در ماتریسهای هرمیتی

برای دیدن توضیحات بیشتر می‌توانید به جزوه این جلسه در این لینک مراجعه کنید. برای دیدن توضیحات کامل با حزئیات هم از این آدرس امکان دسترسی به محتوای ویدئویی براتون امکان پذیر هست. از این ادرس هم می‌وانید به کل محتوای ویدئویی فصل بصورت یکجا دسترسی داشته باشید.

همرهی شما باعث دلگرمی ماست. قدردان حضور ارزشمند شما هستیم.

موفق و پیروزز باشید.