فضاهای برداری؛ بعد و پایه؛ آموزش جبر خطی؛ جلسه 25

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم؛ امیدوارم حال دلتان عالی باشد.  امیدوارم تا اینجا، مطالب براتون مفید بوده باشد. امروز و در این جلسه قصد داریم به بررسی مفهوم بعد و پایه در فضاهای برداری بپردازیم. پس تا انتها با ما همراه باشید.

مفهوم بعد

در ریاضیات و به ویژه در جبر خطی، بعد یک فضای برداری یکی از مفاهیم اساسی است که نشان می‌دهد چند بردار مستقل خطی برای پوشش کل فضای مورد نیاز است. به عبارت دیگر، بعد تعداد بردارهای پایه (مجموعه‌ای از بردارهای مستقل خطی که کل فضا را تولید می‌کنند) را مشخص می‌کند. این مفهوم به ما امکان می‌دهد پیچیدگی و ساختار داخلی فضاهای برداری را تحلیل کنیم و در کاربردهای مختلف مانند حل دستگاه‌های معادلات خطی، مدل‌سازی و علوم داده، نقش مهمی ایفا می‌کند.

پس:

مفهوم بعد شد: تعداد اعضای پایه را بعد زیرفضای Aمی نامند و با dimA نشان می دهند.

مثال) در هر یک از موارد زیر، بعد زیر فضای داده شده از فضای ماتریسهای 2 × 2 را حساب کنید.

الف) ماتریس های قطری

ب) ماتریس های متقارن

حل این مثال را هم با هم ببینیم.

ج) ماتریس های متقارن کج

د) ماتریس های به فرم

یادآوری مهم:

ماتریس های متقارن کج، به ماتریسی گویند که: A^T = -A

ه) ماتریس های به فرم

ی) ماتریس های به فرم

مثال) در هر یک از موارد زیر، بعد زیرفضای داده شده از فضای برداری P₃ را حساب کنید.

حل:

مفهوم پایه

خب بریم ببینیم مفهوم پایه چی هست.

در جبر خطی، مفهوم پایه یکی از اصول اساسی برای تحلیل فضاهای برداری است. هنگامی که با دستگاه معادلات همگن مواجه می‌شویم، یافتن مجموعه‌ای از بردارهای مستقل خطی که تمام فضای جواب‌ها را تولید کنند، اهمیت ویژه‌ای دارد. این مجموعه، همان پایه فضای حل دستگاه است و به ما امکان می‌دهد ساختار و ابعاد فضای جواب‌ها را به روشنی درک کنیم و مسائل پیچیده‌تر خطی را به شکل منظم تحلیل کنیم.

بریم با یک مثال این مفهوم را بیشتر متوجه بشیم.

مثال) پایه ای برای فضای جوابهای هر یک از دستگاههای معادلات خطی همگن زیر بیابید و سپس بعد هر یک از فضاها را بدست آورید.

حل:

مثال بعدی را هم سعی کنید اول بدون نگاه به آموش، حل کنید و بعد برگردید به محتوای جزوه.

برای دیدن آموزش کامل این جلسه بصورت ویدئویی می توانید به این لینک در کانال یوتیوب ما مراجعه کنید. البته در نظر داشته باشید که از مطالعه جزوه هم غافل نشید که به راحتی از این لینک قابل تهیه است. برای تهویه تمام محتوای آموزش ویدئویی این جلسه هم می توانید به این آدرس در فروشگاه وبسایت ما مراجعه کنید.

از اینکه این جلسه هم تا انتها ما را همراهی کردید سپاسگزاریم.

موفق و پیروز باشید.