سیستمهای خطی و غیر خطی؛ فصل اول سیستمها و سیگنالها؛ جلسه 31

درود و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم؛ امیدوارم حالتون عالی باشه و تا اینجا مطالب را کامل همراه ما بررسی کرده و براتون مفید واقع شده باشد. رسیدیم به آخرین جلسه آموزشی از فصل اول سیگنالها و این جلسه قصد داریم به بررسی سیستمهای خطی و غیر خطی بپردازیم. مطمانم این جلسه هم براتون کاربردی خواهد بود. پس تا انتهای این جلسه همراه ما باشید.

سیستمهای خطی و غیر خطی

یک سیستم را خطی مینامند اگر دو خاصیت زیر را داشته باشد:

1. خاصیت همگنی: اگر پاسخ این سیستم به ورودی x(t)  برابر  y(t) باشد، آنگاه پاسخ سیستم به ورودی αx(t) (که در آن α یک اسکالر مختلط است) برابر αy(t) خواهد شد.
2. خاصیت جمع پذیری: اگر پاسخ این سیستم به ورودی x₁(t) برابر  y₁(t) و پاسخ به ورودی x₂(t) برابر  y₂(t) باشد، آنگاه پاسخ سیستم به ورودی x₁(t)+x₂(t) برابر y₁(t) +y₂(t) خواهد شد.

توجه 1: تعریف خطی بودن برای سیستمهای گسسته در زمان نیز مشابه سیستمهای پیوسته در زمان است و باید دو خاصیت ذکر شده را داشته باشد.

توجه 2: نتیجه دو خاصیت خطی بودن و همگنی، برقرار بودن خاصیت جمع آثار (اصل برهم نهی) در سیستمهای خطی است.

و به زبان ریاضی داریم:

یک نتیجه بدیهی از خاصیت همگنی صفر بودن پاسخ یک سیستم خطی به ورودی صفر است. به عبارت دیگر اگر x(t)=0 یا  x[n]=0 باشد، آنگاه y(t)=0 یا y[n]=0 خواهد شد. بدیهی است که این شرط کافی نیست و یک شرط لازم برای خطی بودن سیستم است.

یک مثال با هم ببینیم:

مثال) بررسی کنید سیستم های زیر خطی هستند یا خیر؟

y(t)=x² (t)

حل) این سیستم غیرخطی است. زیرا:

y(t) = cos(2t)x(t)

حل) این سیستم خطی است. زیرا:

یک نکته مهم:

یکی از مواردی که باعث غیر خطی شدن یک سیگنال مشخص میشود وجود عدد ثابت یا یک سیگنال مشخص جمع شونده با ورودی است. وجود این عامل باعث میشود که پاسخ سیستم به ورودی صفر برابر صفر نشود و در نتیجه سیستم غیر خطی شود.

مثال) تمامی سیستمهای زیر غیر خطی اند:

اگر اعمال یک تابع غیر خطی روی ورودی اعمال شده باشد، سیستم را غیر خطی می کند. مانند: ((t)x) sin

در صورتی که سیستمهایی مثل (x(sint به دلیل عدم اعمال تابع غیرخطی روی ورودی، همگی سیستمهای خطی هستند.

برای این قسمت هم براتون مثال آوردیم که از جزوه این جلسه می توانید به آنها دسترسی داشته باشید.

قبل از حل مثال یک نکته مهم را براتون یادآوری کنم و بعد:

در صورتی که رابطه بین خروجی و ورودی یک سیستم چند ضابطه ای باشد، اگر یکی از ضابطه ها غیر خطی باشد، آنگاه سیستم غیر خطی میشود. اما اگر تمام ضابطه ها خطی باشند، آنگاه در صورتی که شروط، تابعی از ورودی باشند، معمولاً سیستم غیر خطی و اگر شروط، تابعی از ورودی نباشد (مثلاً تابع زمان باشند) سیستم معمولاً خطی میشود.

در ادامه چند مثال هم براتون آوردم که برای دیدن جواب اونها به لینک آموزش ویدئویی جلسه سیستمهای خطی و غیر خطی می توانید مراجعه کنید.

مثال) بررسی کنید سیستم های زیر خطی هستند یا خیر؟

خب دوستان عزیزم خیلی خوشحالم در کنار همدیگر توانستیم فصل اول از مبحث سیگنالها را به اتمام برسانیم.  لطفا هر اشکال یا سوالی از این فصل براتون پیش آمده با ما مطرح کنید تا با همدیگر حل کنیم. همچنان منتظر همراهی شما عزیزان هستیم. تا جلسات بعدی و شروع فصل جدید؛

موفق و پیروز باشید.