آموزش ترکیب و تبدیل در آمار و احتمال؛ جلسه 5

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم ؛ امیدوارم حال دلتون عالی باشه. در ادامه مباحث آمار امروز قصد داریم به موضوع تبدیل و ترکیب بپردازیم. خوشحال خواهیم شد اگر باز هم ما را همراهی کنید.

در دنیای آمار و احتمال، بسیاری از مسائل پیچیده با استفاده از مفاهیم پایه‌ای اما قدرتمندی مانند ترکیب (Combination) و تبدیل (Transformation) قابل حل و تحلیل هستند. این مفاهیم به ما کمک می‌کنند تا از بین حالت‌های

مختلف، انتخاب‌های مناسب را شمارش کنیم و متغیرهای تصادفی را از شکلی به شکل دیگر تغییر دهیم تا تحلیل دقیق‌تری از داده‌ها یا پدیده‌های تصادفی داشته باشیم.

ترکیب به بررسی تعداد حالت‌های ممکن برای انتخاب از میان مجموعه‌ای بدون در نظر گرفتن ترتیب می‌پردازد و در مباحثی مانند شمارش، بخت‌آزمایی و طراحی آزمایش‌ها کاربرد گسترده‌ای دارد.

از سوی دیگر، تبدیل در احتمال به تغییر شکل توزیع یا متغیر تصادفی (مثلاً از متغیر X به تابعی از X) اشاره دارد که ابزار مهمی در فهم رفتار سیستم‌های تصادفی و محاسبه احتمالات پیچیده‌تر به شمار می‌رود.

با این مقدمه بریم سراغ مطالب داخل جزوه:

ترکیب و تبدیل

کار ترکیب فقط انتخاب کردن است، ولی کار تبدیل انتخاب ومرتب کردن. یعنی درترکیب ترتیب قرار گیری مهم نیست ولی در تبدیل ترتیب قرار گیری مهم است. حال با این وضع هردو را تعریف می کنیم.

ترکیب

انتخاب r شی متمایز از n شی به طوری که ترتیب مهم نباشد و به صورت نمایش دهیم.

تبدیل

انتخاب r شی متمایز از n شی به طوری که ترتیب مهم نباشد و به صورتنمابیش می دهیم.

قوانین ترکیب

تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضویاست.

یک نکته مهم:

برای تعیین تعداد زیر مجموعه های یک مجموعه n عضوی از ترکیب استفاده می کنیم. مثلا تعداد زیر مجموعه های 4 عضوی یک مجموعه 10 عضوی برابر است با:

و حالا بریم سه حالت را با 3 مثال ببینیم:

1.  تعداد زیر مجموعه های 3 عضوی مجموعه A = a,b,c,d,e برابر است با:
2.  تعداد زیر مجموعه های 3 عضوی مجموعه A که شامل e باشد برابر است با:
3.  تعداد زیر مجموعه های 3 عضوی مجموعه A که شامل e باشد ولی شامل a نباشد:

برای جا افتادن موضوع یک مثال با هم ببینیم:

مثال) مجموعه A {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7} چند زیر مجموعه چهار عضوی شامل عدد 3 و فاقد عدد 2 دارد؟

1)10                      2)5                       3)7                     4)15

تعمیم ترکیب

فرض کنید n شی متمایز داریم و می خواهیم آن را به k گروه تقسیم کنیم به طوری که گروه i ام شامل n_i عضو بدون رعایت ترتیب باشد. تعداد حالتهای انجام این عمل برابر است با:

و این هم مثال پایانی:

مثال) به چندطریق می توان 10 توپ متمایز را در 3 جعبه توزیع کرد به طوری که در جعبه اول 3توپ در جعبه دوم 2 توپ و در جعبه سوم 5 توپ قرار گیرد؟

جلسه امروز شامل مثالهایی هست که برای دیدن جواب اونها باید به لینک ویدئوی آموزشی مراجعه کنید. البته همراه بودن آموزش با استفاده از جزوه تاکید همیشگی ماست. برای تهیه جزوه به این لینک مراجعه کنید. جزوه این فصل شامل سوالات و تست‌های زیادی هست که حتما براتون مفید خواهد بود. اگر به کانال یوتیوب ما دسترسی دارید از این آدرس وارد مباحث این جلسه شوید و مطالب را دنبال کنید.

مثل همیشه قدردان حضور و همراهی شما هستیم و همچنان منتظر دریافت نظرات شما عزیزان.

موفق باشید.