آشنایی با مفاهیم ترکیب خطی و پدید آوردن در فضاهای برداری جبر خطی؛ جلسه 12

سلام بر دوستان و همراهان عزیزم؛ امیدوارم حال دلتون عالی باشه. امروز و در ادامه مباحث قبلی، قصد داریم به موضوع ترکیب خطی بپردازیم. با ما همراه باشید.

گیریم V یک فضای برداری باشد، x₁ ,x₂ ,…,x_n  بردارهایی در V و α₁ ,α₂ ,…,α_n    اسکالر باشند. اگر بردار y در V را بتوان به صورت  y = α₁x_{1 +} α₂x₂ + …, α_nx_n  نوشت، آنگاه y را یک ترکیب خطی x₁ ,x₂ ,…,x_n  گویند. مثلاً در ، P₂ مجموعه چندجمله ای های با درجه نابیشتر از ،2 هر عنصر را می توان به صورت ترکیب خطی از 1,x,x² نوشت، زیرا داریم:  P(x) = α₀ + α₁ x₁ + α₂ x² 

بریم یک مثال با هم ببینیم:

مثال) بردار را به صورت ترکیب خطی از بردارهای زیر بنویسید.

این مثال را من براتون حل می‌کنم:

پدید آوردن

برای تولید زیر فضاهای یک فضای برداری ، V روشی طبیعی، مبتنی بر استفاده از ترکیبات خطی، وجود دارد. اگر S زیر مجموعهای از فضای برداری V باشد، مجموعه پدید آمده توسط ، S که آن را با (sp(S نشان میدهیم، بر حسب تعریف، مجموعه بردارهایی است که هر کدام از آنها را بتوان به صورت ترکیب خطی از بردارهای S نوشت.

مطمان هستم توضیحات این بخش براتون کافی نیست. توصیه می کنم ه ویدئوی این جلسه در این لینک مراجعه کنید.

و اما یک قضیه مهم:

اگر V یک فضای برداری باشد و S زیر مجموعه ای از ، V آنگاه ( sp(S زیر فضایی از V است.

اثبات: فرض می کنیم x, y متعلق به ( sp(S باشند. در این صورت:

که در آن α₁ ,α₂ ,…,α_n و β₁ ,β₂ ,…,β_n  اسکالرند و  x₁ ,x₂ ,…,x_n و y₁ ,y₂ ,…,y_n  بردارهایی در S باشند. پس:

لذا x+y ترکیب خطی از بردارهای S است و بنابراین x+y متعلق به (sp(S است به علاوه اگر α یک  اسکالر باشد داریم:

پس α , X به عنوان ترکیب خطی از بردارهای S الزاماً متعلق به( sp(S می باشد.

مثال) نشان دهید که هر یک از مجموعه های بردارهای زیر، فضایی برداری را که مقابل آن نوشته شده، پدید می آورد.

پس این مجموعه ها، فضایی برداری R² ، را پدید می آورد.

خب دوستان عزیزم رسیدیم به انتهای این جلسه که امیدوارم براتون مفید واقع شده باشد. برای دیدن مطالب جزوه به این آدرس از فروشگاه وبسایت مون مراجعه کنید و جزوه را تهیه کنید.

محتوای ویدئویی کل این فصل هم از این آدرس قابل دسترسی هست.

از همراهی شما سپاسگزاریم و براتون آرزوی توفیق و سلامتی دارم.

موفق باشید.