انتگرال مختلط با مهندس زوارقی؛ ریاضیات مهندسی؛ جلسه 1

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم. امیدوارم حالتون خوب باشه و توی این روزهایی که داریم به آخر سال نزدیک میشیم، تا به اینجا از نتایج عملکردتون راضی بوده باشید و ما رو همراهی کرده باشید. رسیدیم به یک مبحث دیگه از ریاضیات مهندسی که قبل اینکه وارد بحث اصلی بشیم باید با یکسری مفاهیم از قبل آشنا باشید. لطفا این جلسه هم ما را همراهی کنید.

انتگرال‌گیری در صفحه مختلط: مفاهیم، مانده‌ها و کاربردها در مهندسی

در ریاضیات مهندسی، توابع مختلط نقشی کلیدی در تحلیل سیستم‌ها، پردازش سیگنال، فیزیک کوانتومی و حتی دینامیک سیالات دارند. یکی از مباحث بنیادی در این حوزه، انتگرال‌گیری در صفحه مختلط است که نه‌تنها از نظر نظری، بلکه در حل مسائل عملی نیز اهمیت بسیاری دارد.

برخلاف انتگرال‌گیری معمول در آنالیز حقیقی، در حساب مختلط، انتگرال‌های مسیر تعریف می‌شوند که مقدار یک تابع مختلط را در طول یک مسیر بسته محاسبه می‌کنند. یکی از ابزارهای کلیدی برای محاسبه این انتگرال‌ها، قضیه مانده‌ها است که امکان ارزیابی انتگرال‌های پیچیده را تنها با بررسی نقاط تکین (قطب‌ها) فراهم می‌کند.

اما قبل از اینکه بتوانیم از قضیه مانده‌ها برای حل انتگرال‌های پیچیده استفاده کنیم، لازم است مفهوم مانده یک تابع مختلط را درک کنیم. مانده یک تابع در یک نقطه تکین، مقدار خاصی است که رفتار تابع را در نزدیکی آن نقطه مشخص می‌کند و به کمک آن می‌توان انتگرال‌های مسیر بسته را مستقیماً محاسبه کرد. در این مقاله، ابتدا مفهوم مانده‌ها را بررسی کرده و سپس نشان می‌دهیم که چگونه این ابزار در حل انتگرال‌های مختلط به کار گرفته می‌شود.

مانده ها:

اگر Z = Z_O 

یک نقطه تکین اساسی برای تابع f(z) باشد برای تعیین مانده هیچ راهی جز استفاده از بسط لورن نداریم.

به مثال های زیر توجه فرمایید:

اینم حل مثال:

اینم یک مثال دیگه که برای دیدن جواب اون و حل کامل با جزییات می تونید به ویدئوی آموزشی توی این لینک مراجعه کنید.

بریم دوتا سئوال ابتکاری هم با هم ببینیم که اولی رو من حل میکنم و جوابش رو براتون میارم. دومی با شما!!

اگر Z² را در بسط فوق ضرب کنیم، به راحتی ظاهر نمی شود، پس باید به جای Z² بنویسیم:

خب اینم از حل که من به شخصه لذت بردم. برای دیدن مثال بعدی توی جلسه بعدی همراه ما باشید.

یادتون نره که برای دیدن آموزش کامل این مباحث:

• اولا داشتن جزوه ضروری هست که برای تهیه جزوه این فصل می تونید به این آدرس توی فروشگاه وبسایت مون مراجعه کنید.
• دوم حتما ویدئوی آموزشی این فصل رو از این لینک تهیه کنید و همزمان با جزوه پیش ببرید.

موفق باشید🍀