امید ریاضی و واریانس احتمال شرطی؛ آمار و احتمالات مهندسی؛ جلسه 14

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیم؛ امیدارم حال دلتون عالی باشه و توی این روزهای گرم تابستان از تلاش کردن ناامید نشده باشید. امروز قصد داریم در این جلسه به بررسی مبحث امید ریاضی و ارتباط آن با واریانس شرطی بپردازیم. با ما همراه باشید.

در دنیای آمار و احتمال، دو مفهوم پایه‌ای و پرکاربرد یعنی امید ریاضی (Expected Value) و واریانس (Variance) نقش مهمی در تحلیل داده‌ها، پیش‌بینی نتایج و درک عدم قطعیت دارند. امید ریاضی، میانگین وزنی نتایج ممکن یک متغیر تصادفی است و در واقع نشان می‌دهد که در بلندمدت از یک فرآیند تصادفی چه انتظاری می‌توان داشت. واریانس نیز میزان پراکندگی داده‌ها یا فاصله آن‌ها از مقدار میانگین را اندازه‌گیری می‌کند و به ما کمک می‌کند بفهمیم داده‌ها چقدر پایدار یا پراکنده هستند.

در این مقاله با زبان ساده و مثال‌های کاربردی، با این دو مفهوم مهم بیشتر آشنا می‌شویم و نقش آن‌ها را در تحلیل‌های آماری بررسی خواهیم کرد.

تعریف: فرض کنید X,Y دو متغیر تصادفی باشند. امید ریاضی شرطی  x^r به شرط Y = y به صورت زیر تعریف می شود:

امید ریاضی y^r به شرط X = x به صورت زیر است:

واریانس شرطی X به شرط Y = y به صورت زیر تعریف می شود:

واریانس شرطی Y به شرط  X = x به صورت زیر تعریف می شود:

بعد از بررسی شرایط حاکم بر این قضیه، میتوانیم با حل چند مثال و تمرین، این قضیه را تثبیت کنیم. پس جلسات بعدی آموزشی که شامل چندین مثال هست را، داخل جزوه و محتوای ویدئوی آموزشی دنبال کنید.

مثال) فرض کنید متغیرهای تصادفی X,Y دارای تابع چگالی احتمال توام زیر باشد. E(X²| Y = 3 ) را محاسبه نمایید:

برای دیدن حل این مثال می‌توانید به کانال یوتیوب ما در این لینک مراجعه کنید. کل محتوای ویدئوی آموزشی این فصل در این لینک قابل دریافت هست. از جزوه این فصل هم غافل نشید که در کنار دیدن محتوای ویدئوی آموزشی از فاکتورهای الزامی هست. برای تهیه جزوه هم می‌توانید به این لینک مراجعه کنید.

مثل همیشه از اینکه این فصل هم در کلیه مطالب آموزشی همراه ما بودید، بی نهایت سپاسگزاریم. منتظر دریافت نظرات سازنده شما هستیم.

موفق باشید.