امید ریاضی تابعی از یک یا چند متغیر تصادفی؛ آمار و احتمال مهندسی؛ جلسه 4

سلام و عرض ادب خدمت دوستتان  و همراهان عزیز؛ امیدوارم حال دلتون عالی باشه. در جلسه امروز قصد داریم به بررسی خواص امید ریاضی در یک یا چند مغیر تصادفی بپردازیم. همراهی شما تا انتها در این مقاله برای ما مایه افتخار است. با یک مقدمه کوتاه شروع کنیم.

 امید ریاضی تابعی از یک یا چند متغیر تصادفی

در آمار و احتمال، امید ریاضی (یا مقدار میانگین) یکی از مفاهیم بنیادی برای توصیف رفتار بلندمدت یک متغیر تصادفی است. هنگامی که با یک تابع از یک یا چند متغیر تصادفی سروکار داریم، مسئله اصلی محاسبه امید ریاضی آن تابع می‌شود. این موضوع در تحلیل‌های آماری، مدل‌سازی‌های ریاضی، اقتصاد، مهندسی و یادگیری ماشین اهمیت فراوانی دارد. در چنین حالتی، به جای بررسی مستقیم متغیرها، رفتار تابعی از آن‌ها (مانند جمع، ضرب یا سایر ترکیب‌های ریاضی) را تحلیل می‌کنیم. برای این منظور، با استفاده از قواعد انتگرال‌گیری یا جمع‌زنی روی توزیع احتمال متغیرها، امید ریاضی تابع را محاسبه می‌کنیم. این فرآیند پایه‌ای برای تحلیل‌های بیشتر مانند واریانس، کوواریانس و بهینه‌سازی در مسائل تصمیم‌گیری است.

در بعضی از مسائل نیاز به محاسبه امید ریاضی تابعی از متغیر تصادفی X مانندg(x) داریم. مثلا (g(X میتواند X² یا … باشد. . پس قضیه زیر را داریم :

قضیه) فرض کنید X یک متغیر تصادفی با تابع احتمال یا تابع چگالی احتمال f_x (x) باشد، امید ریاضی (g(X تابع به صورت زیر به دست می آید:

بریم یک مثال هم با هم ببینیم:

مثال) تاس سالمی را یک مرتبه پرتاب می کنیم. اگر متغیر تصادفی نشان دهنده عدد ظاهر شده باشد، امید ریاضی متغیر تصادفی را تعیین کنید.

این یکی رو من حل میکنم بقیه موارد رو شما تلاش کنید تا به جواب برسید.

دوستان عزیزم برای دیدن مثال‌های بیشتر می توانید به این لینک مراجعه کرده و چزوه این فصل را تهیه کنید. البته در کنار جزوه حتما با ویدئوی آموزشی این فصل نیز همراه باشید. برای دیدن آموزش این جلسه به این آدرس و برای دیدن کل محتوای ویدئویی فصل به این لینک از فروشگاه مراجعه فرمایید.

مثل همیشه سپاسگزاریم که تا انتها ما را همراهی کردید.

موفق باشید.