آموزش حد و پیوستگی؛ ریاضی عمومی 1 با مهندس زوارقی
- ریاضی
- نرگس دارابی
- 3 دقیقه
عرض سلام خدمت دوستان عزیز
با یک مبحث دیگر از مباحث درس ریاضی عمومی یک در خدمت شما عزیزان هستم. امیدوارم مثل جلسات قبل امروز هم تا پایان، همراه من باشید. پس بریم برای یک شروع پر انرژی با آموزش حد.
در ریاضیات، حد (Limit) مفهومی اساسی است که برای توصیف رفتار یک تابع یا دنباله هنگامی که متغیر مستقل به یک مقدار مشخص یا به بی‌نهایت نزدیک می‌شود، به کار می‌رود. این مفهوم به تحلیل تغییرات و روندهای توابع در نقاط مختلف یا در بی‌نهایت کمک می‌کند و از اجزای اصلی حسابان و آنالیز ریاضی به شمار می‌آید.
حد نقش کلیدی در تعریف مفاهیم مهمی مانند پیوستگی، مشتق و انتگرال دارد. با استفاده از حد، می‌توان رفتار توابع را در نزدیکی یک نقطه خاص بررسی کرد و روند تغییرات آن‌ها را تحلیل نمود. این ابزار به ریاضیدانان و دانشمندان امکان می‌دهد تا مسائل پیچیده‌تری مانند رفتار توابع در بی‌نهایت، نقاط ناپیوسته یا تغییرات لحظه‌ای را مدل‌سازی و حل کنند.
در واقع، مفهوم حد، پلی میان ریاضیات نظری و کاربردهای عملی آن ایجاد می‌کند و زمینه‌ساز بسیاری از پیشرفت‌های علمی در حوزه‌های مختلف مانند فیزیک، مهندسی و اقتصاد است. با این مقدمه بریم سراغ تعریف “حد” در کتب درسی شما دوستان عزیز.
مفاهیم مقدماتی حد:
تعریف: شرط آنکه بتوان از حد یک تابع در نقطه ی x= a صحبت کرد آنست که آن تابع حداقل در یک همسایگی راست یا همسایگی چپ تعریف شده باشد. در واقع در دو حالت تابع f در x= a حد دارد:
الف) اگر تابع f در همسایگی محذوف نقطه ی x = a حد داشته باشد، آنگاه شرط آنکه تابع f در x = a حد داشته باشد، آنست که حد های چپ و راست در این نقطه، موجود بوده و برابر باشند. (منظور از موجود این است که عددی حقیقی و یکتا باشد.)
ب) اگر تابع f فقط در همسایگی راست (چپ) نقطه ی x = a تعریف شده باشد، آنگاه شرط آنکه تابع f در x =a دارای حد باشد، آن است که حد راست (چپ) تابع f در x = a موجود (عددی حقیقی و یکتا) باشد. در این حالت منظور از حد تابع f در x= a همان حد راست (چپ) در این نقطه است.
اگر با این تعاریف هنوز در مفهوم حد مشکل دارید، نگران نباشید چون من توی ویدئوی آموزش این جلسه توی کانال یوتیوب با جزئیات کامل، مبحث را براتون شرح دادم. یادت نره کانال یوتیوب رو بزاری توی لیست یادگیری ات. کامنت هم یادت نره تا از نظرات سازنه شما باخبر بشم.
شرایط بحث در مورد حد یک تابع:
به نمودار رو به رو توجه فرمایید. این نمودار را با هم بررسی کرده و یک نتیجه مهم را از آن استخراج می کنیم:
پس بنا به تعریف بالا در میابیم که شرط آنکه بتوان از حد راست (چپ) تابع f در نقطه ی x=a صحبت کنیم، آنست که تابع f حداقل در یک همسایگی راست (چپ) تعریف شده باشد.
همچنین اگر تابعی مانن f، فقط در یک همسایگی راست (چپ) نقطه ای مانند x=a تعریف شده باشد، آنگاه نزدیک شدن به a از داخل دامنه f، فقط از سمت راست(چپ) امکان پذیر است و در نتیجه منظور از حد f در x=a، همان حد راست(چپ) در x=a می باشد.
یعنی:
خب جلسه اول آموزش مفهوم حد را در اینجا به پایان می رسانیم. یادتون نره که جزوه مربوط به این جلسه رو از فروشگاه وبسایت مون با این آدرس تهیه کنید.
منتظر کامنتهای شما توی بخش وبلاگ سایت مون هم هستم تا تولید محتوای این مطالب رو مستمر ادامه بدم.
موفق باشید🍀
