پارامتری کردن منحنی ها؛ ریاضی عمومی 2

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم امیدوارم حال دلتون عالی باشه. در این مقاله قصد داریم با مفهوم پارامتری‌سازی، روش‌های مختلف آن و مثال‌هایی کاربردی بیشتر آشنا شویم.

در دنیای ریاضیات، توصیف مسیر حرکت یک نقطه یا شکل یک منحنی، همیشه به صورت ساده با معادلات $y=f(x)$ امکان‌پذیر نیست. برخی منحنی‌ها پیچیده‌تر از آن هستند که بتوان آن‌ها را تنها با یک رابطه‌ی صریح بین $x$ و $y$ بیان کرد. در چنین مواردی، از پارامتری کردن (یا پارامتری‌سازی) منحنی‌ها استفاده می‌کنیم.

پارامتری کردن یعنی معرفی یک یا چند متغیر جدید (معمولاً $t$ ، که به آن «پارامتر» گفته می‌شود) تا با استفاده از آن بتوان مختصات $x$ و $y$ را به صورت جداگانه و مستقل تعریف کرد:

$y(t)= x(t) , y = X$

این روش نه‌تنها به توصیف دقیق‌تر منحنی‌های پیچیده کمک می‌کند، بلکه در تحلیل‌های مختلف مانند محاسبه طول منحنی، مشتق‌گیری، بررسی حرکت در فیزیک، یا گرافیک رایانه‌ای بسیار کاربرد دارد.

با این مقدمه بریم سراغ مطالب این جلسه داخل جزوه.

پارامتری کردن منحنی ها: چند روش برای پارامتری کردن منحنی ها وجود دارد.

1- اگر منحنی، چند جمله ای باشد، کافیست x=t قرار دهید. به مثال های زیر توجه فرمایید.

2- پارامتری کردن پاره خط AB: مثال) Cپاره خطی است که نقطه A( 0, 1, 1) را به نقطه B(1 ,2 ,1 ) 1 2 1 وصل می کند.

C = (0,1,-1) + (1,1,2)t = (t,1+t,-1+2t)

مثال) Cپاره خطی است که نقطه B(0 ,0 , 0) را به نقطه A( 1, 1,1) وصل می کند.

مثال) Cقسمتی از منحنی است که نقطه ( 0, 0) را به نقطه (2 ,0 )وصل می کند.

مثال) Cمنحنی دایره است به معادله: x² + y² = r²برای اینکه گله نکنید که همه مثال ها بدون جواب هستندُ یک مورد هم با حل براتون میذارم.

مثال c) منحنی فصل مشترک X² + y² + z² = 3 و سهمی گون x² + y² = 2z برای دیدن توضیحات کامل این جلسه به محتوای آموزشی در ویدئوی این جلسه می توانید از این لینک مراجعه کنید. علاوه براین این لینک هم از داخل وبسایت مون قابل دسترسی هست.