میدان های پایستار به زبان ساده با مهندس زوارقی؛ ریاضی عمومی 2

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم؛ امیدوارم سالم و تندرست باشید و حال دلتون عالی باشه. این جلسه قصد داریم به یک موضوع دیگر در فصل انتگرال خطی بپردازیم.

میدان‌های پایستار در ریاضیات به میدان‌هایی اطلاق می‌شود که ویژگی خاصی در مورد گردش و تغییرات آنها وجود دارد. به طور دقیق‌تر، میدان‌های پایستار در فضاهای برداری (vector fields) به میدان‌هایی گفته می‌شود که در آنها کار انجام شده توسط نیروی وارد شده در مسیرهای مختلف تنها به نقاط آغازین و انتهایی مسیر بستگی دارد و نه به خود مسیر. این ویژگی باعث می‌شود که گردش (circulation) میدان در هر مسیر بسته‌ای صفر باشد.

در ریاضیات، میدان‌های پایستار را می‌توان به صورت ریاضیاتی به کمک مفهوم فرم‌های دیفرانسیلی و گرادیان تحلیل کرد. یک میدان برداری $\mathbf{F}$ در فضای سه‌بعدی، زمانی پایستار (یا محافظه‌کار) است که بتوان آن را به صورت گرادیان یک تابع اسکالر Φ نوشت، به عبارت دیگر: 

φ∇ = F

در اینجا $\nabla$ نشان‌دهنده عملگر گرادیان است که تغییرات تابع Φ را در هر نقطه نشان می‌دهد. اگر میدان F از این نوع باشد، آنگاه میدان پایستار است.

با این مقدمه بریم سراغ مطالب جزوه و ببینیم قراره چی توی این جلسه یاد بگیریم.

انتگرال های خط مستقل از مسیر و تعریف میدان های پایستار:

در میدان های الکتریکی و گرانشی مقدار کار برای حرکت یک بار الکتریکی از نقطه ای به نقطه دیگر، فقط نقاط ابتدایی و انتهایی مهم اند و به مسیر بین این دو نقطه ربطی ندارد. در این بخش خواص میدان هایی که انتگرال های کار برای آنها مستقل از مسیر است را بیان می کنیم.

میدان های پایستار (کنسرواتیو): اگر انتگرال خط F از نقطه A تا B مستقل از مسیری باشد که این دو نقطه را به هم وصل می کند، آنگاه F را میدان پایستار می نامیم. (ابقایی)

اگر F یک میدان پایستار باشد، آنگاه یک تابع عددی مانند f وجود دارد، به طوری که داریم: F=∇ f

F را تابع پتانسیل می نامیم.

قضیه: هرگاه F یک تابع پایستار با تابع پتانسیل f باشد، آنگاه مقدار انتگرال خط F از از نقطه A تا B از رابطه زیر به دست می آید. اگر مسیر بسته باشد، آنگاه (f(B) = f(A پس مقدار انتگرال صفر می شود.

شرط لازم و نه کافی برای این که F پایستار باشد این است که غیر چرخشی باشد یعنی کرل F صفر شود.

از curlf = 0 همواره نمی توان نتیجه گرفت که F میدانی پایستار است. اگر curlf ≠ 0 باشد، حتماً میدانی پایستار است.

شرط کافی آن است که D ناحیه همبند ساده باشد تا F پایستار باشد.

پس دو شرط نیاز است:

1. curlf = 0
2. ناحیه D همبند ساده باشد.

دوستان عزیزم برای تهیه جزوه این جلسه به این لینک از وبسایت مون مراجعه کنید. برای دیدن توضیحات کامل و جزء به جزء ویدئوی آموزشی این جلسه و فصل به این لینک از فروشگاه وبسایت مراجعه کنید. اگر هم که به یوتیوب به راحتی دسترس دارید، میتوانید از این آدرس ویدئوی آموزشی را ملاحظه کنید.

دوستان عزیزم همچنان برای ادامه دار بودن این مسیر، از طریق نوشتن نظرات سازنده، از ما حمایت کنید.

موفق باشید.