محاسبات عددی؛ ماتریسها و حل معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی ؛ جلسه 1

سلام و عرض ادب خدمت دوستان گرامی و تبریک به مناسبت آغاز سال نو. امیدوارم در سال جدید دستاوردهای عالی براتون رقم بخوره و حال دلتون عالی باشه. رسیدیم به فصل ششم از محاسبات عددی و مبحث ماتریس ها و حل معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی. بریم اولین جلسه از سال 1404 را با هم شروع کنیم.

تعریف ماتریس: ماتریس را به صورت یک آرایه مستطیلی از اعداد تعریف می کنیم. اعداد، اعضاء، عناصر یا مولفه های ماتریس نامیده می شوند. برای نشان دادن ،ماتریسها معمولاً از حروف بزرگ مانند B,Aاستفاده می کنیم مولفه های ماتریس را با حروف کوچک لاتین با دو زیرنویس، مثلا  a_{ij  ,}  b_ij  نشان می دهیم که در آن اندیس اول یعنی i معرف شماره سطر و اندیس دوم یعنی j نشان دهنده شماره ستونی است که مولفه a_ij از ماتریس A در آرایه موجود است. 

مثال 1) ماتریس  A، که در زیر مشخص شده یک ماتریس با m سطر و n ستون می باشد.چند نکته مهم:

1- هرگاه بخواهیم یک ماتریس را با یک عضو کلی نشان دهیم از نماد a_ij استفاده می کنیم.

2- چون ماتریس A در مثال 1 دارای m سطر و n ستون است، می گوییم A ماتریسی m × n یا ماتریسی از مرتبه m × n است.

تعریف: هرگاه تعداد سطرها و ستونهای ماتریسی مانند A برابر باشد یعنی m=  n، آن را یک ماتریس مربع می نامیم.

تساوی دو ماتریس: گوییم دو ماتریس  A,B مساوی هستند و می نویسیم A=B هرگاه A,B هم مرتبه بوده و برای تمام i,j داشته باشیم: a_ij=bij که در آن

A = (a_ij) , B = (b_ij)

ضرب عدد در ماتریس: ضرب عدد α در ماتریس A = (a_ij) را به صورت Aα یا αA نشان داده و عبارت است از:

αA = (α a_ij)

مثلا هرگاه 2= α در این صورت داریم: جمع دو ماتریس: دو ماتریس را زمانی می توان با هم جمع نمود که هم مرتبه باشند هرگاه A = (a_ij) , B = (b_ij) ماتریسهای هم مرتبه m × n باشند در این صورت جمع آنها را با A + B نشان می دهیم که عبارتست از ماتریسی مانند m × n مانند C = (c_ij) که برای هر i , j داریم: c_ij = a_ij + b_ij  و می نویسیم:

C =A+B

ضرب دو ماتریس: ماتریس A = (a_ij) زمانی در ماتریس B = (b_ij) قابل ضرب است که تعداد ستونهای A برابر تعداد سطرهای ماتریس B باشد هرگاه A ماتریسی m × n و B ماتریسی n × k باشد. در این صورت حاصل ضرب ماتریس A در B که آن را به صورت AB می نویسیم، ماتریسی m× k مانند C = (c_ij) است که برای هر i , j داریم :از تعریف فوق واضح است که در حالت کلی AB≠BA

مثال) اگر ماتریس B,A را داشته باشیم حاصل ماتریس C = AB را بدست آورید.حل:

توجه: دوستان یک موردی را اینجا یادآوری کنم که دو جلسه اول هیچکدام از مثال ها شبیه مثال های ویدئو ها نیست و این کار صرفا برای کمک به یادگیری بهتر است.

خب دوستان عزیزم جلسه اول این فصل کمی طولانی هست و چون توی اولین روز از سال نو دارم این مطلب را براتون می نویسم، ترجیج دادم توی دو بخش باشه این جلسه. پس برای دیدن ادامه بحث، جلسه بعدی همراه ما باشید.

فراموش نکردید که جزوه این جلسه رو از این آدرس توی فروشگاه وبسایت مون تهیه کنید. برای دیدن ویدئوی آموزشی این جلسه هم می تونید به این لینک در کانال یوتیوب ما مراجعه کنید.

همین اول سال، لطفا حمایت خودتان را از ما و هدف مون با نوشتن نظرات تون در زیر همین پست اعلام کنید.

عیدتون مبارک🌸