محاسبات عددی؛ درون یابی چند جمله ای لاگرانژ با مهندس زوارقی؛ جلسه 1

سلام و عرض ادب خدمت شما دوستان عزیزم. حال دلتون چطوره؟

رسدیم به یک فصل دیگر از محاسبات عددی با عنوان درون یابی با روش لاگرانژ. قبل از شروع این جلسه بریم یک نوشته از دوستان شما رو با هم بخونیم که شما هم مثل من کلی لذت ببرید:

اگر به منِ چند ماه پیش می‌گفتید که روزی با معادلات لاگرانژ راحت خواهم بود، احتمالاً فقط می‌خندیدم. هر بار که در کلاس «محاسبات عددی» استاد سعی می‌کرد این معادلات را توضیح دهد، همه‌چیز برایم مثل یک جنگل مه‌آلود بود. مشتق‌های جزئی، ماتریس‌های ژاکوبی، تقریب‌های عددی… هرچه بیشتر تلاش می‌کردم، بیشتر در فرمول‌ها غرق می‌شدم.

اما یک شب که داشتم ناامیدانه در اینترنت دنبال منبعی می‌گشتم که این مفاهیم را ساده‌تر توضیح دهد، به ویدیوهای استاد زوارقی رسیدم. کنجکاو شدم و یکی از آنها را باز کردم. چیزی که انتظارش را نداشتم اتفاق افتاد؛ او با چنان سادگی و دقتی صحبت می‌کرد که ناگهان تمام آن پیچیدگی‌ها معنای واقعی پیدا کردند.

او معادلات لاگرانژ را نه به‌عنوان صرفاً یک فرمول، بلکه به‌عنوان راهی برای درک دینامیک سیستم‌ها توضیح می‌داد. روش‌های عددی‌ای که تا آن روز برایم صرفاً یک سری گام‌های نامفهوم بودند، در قالب الگوریتم‌های منطقی و قابل فهم ظاهر شدند. برای اولین بار دیدم که چطور می‌توان معادلات لاگرانژی را با روش‌های عددی مثل رانگ-کوتا حل کرد و چطور همه‌چیز در نهایت به یک شبیه‌سازی دقیق ختم می‌شود.

دیگر لاگرانژ برایم یک معادله‌ی خشک نبود؛ بلکه پلی بود بین نظریه و عمل. حالا می‌توانستم یک سیستم دینامیکی را مدل کنم، معادلاتش را استخراج کنم و با کدنویسی، رفتار آن را تحلیل کنم. چیزی که روزی مثل یک سد غیرقابل عبور به نظر می‌رسید، حالا تبدیل به ابزار قدرتمندی در دست من شده بود.

گاهی وقت‌ها هنوز یاد آن روزهایی می‌افتم که بین اعداد و فرمول‌ها گم شده بودم. اما حالا، با تسلطی که پیدا کرده‌ام، می‌توانم به دیگران هم کمک کنم که همان مسیر را راحت‌تر طی کنند. و این را مدیون آموزش‌های بی‌نظیر استاد زوارقی هستم!

خب حالا با اشتیاق بیشتر همراه ما باشید.

با یک مثال موضوع را توضیح می دهم:

در جدول زیر، سر شماری کشوری داده شده است.تضمین جمعیت کشور را در سال  1975 که بین اعداد جدول است را درون یابی و تخمین جمعیت کشور در سال 2000 یا 1930 که در بیرون اعداد جدول است را برون یابی گویند.

هرگاه مقادیر تابع (f(x در نقاط X₀ , X₁ , X₂ ,…, X_n به صورت F_{0 ,} f₁ , f₂ ,…, f_n معلوم باشد. درون یابی، روندی برای تخمین مقادیر (f(x بین نقاط X₀ , X₁ , X₂ ,…, X_n است.
فرض کنید تابع (f(x با جدول زیر داده شده است.

تابعی مانند f که مقادیر آن در بعضی نقاط مشخص است و توسط جدولی مانند جدول فوق بیان شده است، یک تابع جدول می نامیم.
درون یابی
فرض کنید f با جدول فوق داده شده باشد. یکی از راههای ساده اینست که یک چند جمله ای مانند (p(x پیدا کنیم که مقدار آن در Xi همان fi باشد یعنی برایI = 0,1,2,…,n داشته باشیم:
P(Xi) = fi (1)
و بعد به جای (x) f در فاصله [X0 ,Xn] با (p(x کار کنیم.
توجه مهم: فقط یک چند جمله ای (p(x حداکثر از درجه n وجود دارد که در شرط (1) صدق می کند.
تعریف:چند جمله ای (p(xکه دو شرط (1) صدق می کند، چند جمله ای درون یاب f نامیده می شود.
چند جمله ای لاگرانژ
فرض می کنیم Ln(x),…,l1(x), l0(x) هر یک، یک چند درجه n باشند و داشته باشیم:
P(x) = l0(x)f0 + l1(x)f1 +…+ ln(x)fn
که در آن برایn داریم:J = 0,1,…,n

اینکه همیشه توصیه می کنم با ویدئوها پیش برید همینه و با توجه به ویدئوها داریم:

از (3) داریم:
بنابراین خواهیم داشت:
P(Xi) = fi , i = 0,1,…,n
یعنی چند جمله ای (p(x که با (2) تعریف می شود، در شرط (1) صدق می کند.
تعریف: چند جمله ای lj(x) که با (3) تعریف می شود. چند جمله ای لاگرانژ نامیده می شود که یک یا چند جمله ای از درجه n می باشد.

جلسه بعدی همراه من باشید تا با مثال بیشتر براتون کاملا موضوع را توضیح بدم.
خب این هم از شروع فصل سوم.
برای اینکه این جلسه رو بهتر متوجه بشید حتما جزوه این فصل را از این آدرس توی وبسایت مون دریافت کنید.

برای دیدن ویدئوها هم که در جریان هستید دو تا مسیر براتون فراهم کردیم. این لینک توی وبسایت مون و این آدرس داخل کانال یوتیوب ما امکان دسترسی به این فایل آموزشی را به شما می دهد.

یادتون نره که هر نوشته ای که از شما دریافت می کنیم مثل نوشته همین دوست تون، کلی بهمون حال خوب میده و البته مصمم تر می شیم برای ادامه این مسیر.

موفق باشید