قضیه دیورژانس (واگرایی یا گاوس) با مهندس زوارقی؛ ریاضی عمومی 2

سلام خدمت شما دوستان عزیزم. امیدوارم حال دلتون عالی باشه و در مسیری که هستید مستدام و پر انرژی باشید. در ادامه مباحث انتگرال خط امروز قصد داریم به قضیه دیورژانس بپردازیم. 

قضیه دیورژانس یکی از مباحث مهم و اساسی در ریاضیات و فیزیک است که در زمینه محاسبات میدان‌های برداری و تجزیه و تحلیل جریان‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد. این قضیه ارتباط میان یک میدان برداری و جریان آن را بررسی می‌کند و در مباحثی نظیر الکترومغناطیس، سیالات و نظریه پتانسیل‌ها کاربرد زیادی دارد.

به طور کلی، قضیه دیورژانس بیان می‌کند که یک میدان برداری به‌طور کلی یا “پراکنده” (divergent) در نقاط مختلف فضا چطور رفتار می‌کند و نشان می‌دهد که چطور این میدان‌ها به یک نقطه خاص وارد یا از آن خارج می‌شوند. این مفهوم می‌تواند برای تحلیل جریان سیالات، میدان‌های الکتریکی یا مغناطیسی و حتی در تحلیل‌های محیطی مانند بررسی توزیع منابع در طبیعت مفید باشد.

در این مطلب، به بررسی دقیق‌تری از این قضیه خواهیم پرداخت و مثال‌هایی کاربردی برای درک بهتر آن ارائه خواهیم کرد. ما را همراهی کنید.

فرض کنید S یک سطح بسته و قطعه قطعه هموار با بردار قائم رو به خارج nباشد که حجم V را محصور کرده است، در این صورت اگر divF در ناحیه V پیوسته باشد (یعنی F دارای مشتقات پارهای پیوسته باشد) داریم: حل) چون ناحیه بسته است، پس از قضیه دیورژانس استفاده می کنیم:برای دیدن مثالهای بیشتر به جزوه این جلسه مراجعه کنید که میتوانید از این لینک تهیه کنید.

قضیه دیورژانس در حل سوالات انتگرال روی سطح، برای توابع برداری بر روی سطح بسته کاربرد دارد. ولی گاهی اوقات انتگرال روی سطح بردار توابع عددی را نیز با انجام یک تکنیک خاص می توان از قضیه دیورژانس حل کرد. در این گونه مسائل اول باید

 را تشکیل داد و از آنجا F را به دست آورد. به مثال های زیر توجه فرمایید:

مثال) حاصل انتگرال زیر را روی سطح کره x² + y² + z² = a² را بدست آورید.

حل این مثال هم توی جزوه کامل آورده شده. برای دیدن توضیحات این جلسه حتما ویدئوی آموزشی مربوط را از این لینک تهیه کنید. از کانال یوتیوب ما هم این آموزش قابل دسترسی هست.

خیلی خرسندیم که این جلسه هم ما را همراهی کردید. منتظر حمایت های دشما از کار آموزشی مان هستیم.

تا جلسه بعدی

موفق باشید.