ضرایب لاگرانژ؛ ریاضی عمومی 2

سلام و عرض ادب خدمت دوستان عزیزم؛ امیدوارم حال دلتون عالی باشه. در ادامه مباحث کاربرد مشتق رسیدیم به یک مبحث جذاب ضرایب لاگرانژ.

ضرایب لاگرانژ ابزاری تحلیلی در بهینه‌سازی ریاضی هستند که امکان بررسی نقاط بهینه یک تابع را در حضور قیود فراهم می‌کنند. این روش که نخستین بار توسط ژوزف لاگرانژ معرفی شد، بر پایه‌ی ترکیب تابع هدف و قیود به کمک ضرایب کمکی بنا شده است. ضرایب لاگرانژ به ویژه در زمینه‌هایی مانند مهندسی، اقتصاد و علوم داده کاربرد فراوانی دارند و تحلیل رفتار سیستم‌های محدود شده را تسهیل می‌کنند. در این مطلب به معرفی اصول نظری و کاربردهای عملی این تکنیک مهم خواهیم پرداخت.

بهینه سازی مقید و ضرایب لاگرانژ با یک قید:

گاهی می خواهیم مقدار max,min تابعی را تحت شرایط خاصی پیدا کنیم. به این نوع مسائل بهینه سازی مقید گوییم و به شکل کلی زیر نوشته می شود.

F(x₁,x₂,…,x_n)         s.t           g(x₁,x₂,…,x_n)=0

به f تابع هدف و به g قید می گویند.

مثال) ماکزیمم و مینیمم تابع  F(x,y) = xy² را روی خم x² + y² = 1 به دست آورید.

چون هدف ما ماکزیموم سازی یا مینیمم سازی f تحت قید x² + y² -1= 0 است، برای همین باید نقاطی را بروی g به دست آوریم که برای این نقاط مقدار f ماکزیمم یا مینیمم شود.

حال چطور باید حل کنیم؟

برای حل مسائل بهینه سازی مقید از قضیه زیر استفاده می کنیم:

قضیه: فرض کنید توابع F(x,y,z)  و  g(x,y,z) مشتقات جزئی مرتبه اول آنها پیوسته باشد. اگر f روی g=0 اکسترمم های موضعی خود را در p₀ بگیرد، آنگاه λ ای موجود است، به گونه ای که داریم :

که در آن به λ ضریب لاگرانژ می گوییم.

روش ضرایب لاگرانژ برای یافتن اکسترمم مقید: برای یافتن اکسترمم تابع F(x₁,x₂,…,x_n) تحت قید g(x₁,x₂,…,x_n)=0 دستگاه زیر را تشکیل داده و حل می کنیم.

نقاطی که از اینجا به دست می آید، نقاط اکسترمم تابع هستند که در قید صدق می کنند.

اگر هدف، محاسبه اکسترمم تابع f(x, y) روی منحنی (g(x,y باشد، علاوه بر روش ضرایب لاگرانژ روش های دیگر نیز مفیدند. حالا مثال فوق را حل می کنیم:

مثال) ماکزیمم و مینیمم تابع  f(x,y)= xy² را روی خم x² + y² = 1 به دست آورید.

دوستان عزیزم حل این مثال با نوشتن شاید نتواند حق مطلب را ادا کند. پس لطفا برای دیدن جواب و حل این مثال به ویدئوی آموزشی این جلسه در این لینک از کانال یوتیوب ما مراجعه کنید. علاوه بر این شما میتونید کل محتوای آموزشی این جلسه رو از این لینک داخل فروشگاه وبسایت مون تهیه کنید. 

تاکید همیشگی من بر استفاده همزمان از جزوه و محتوای آموزشی هست که حتما برای تهیه اون هم میتونید به این آدرس مراجعه کنید.

لطفا با نوشتن نظرات خود در زیر همین پست، اجازه بفرمایید از کیفیت روند کار مطلع شویم.

ممنون از اینکه این جلسه هم ما را همراهی کردید. 

موفق باشید