آموزش معادلات دیفرانسیل؛ معادلات خطی همگن مرتبه دوم با مهندس زوارقی؛ جلسه 7

سلام خدمت شما دوستان عزیزم امیدوارم حال دلتون عالی باشه. رسیدیم به آموزش دیگری از معادلات دیفرانسیل و معادلات خطی همگن مرتبه دوم.

اول باید از همه شما تشکر کنم که توی تمام آموزش های وبسایت و کانال یوتیوب همراه ما هستید. همین همراهی و حمایت های شما اولین دلیل ادامه این مسیر آموزش هست.

میدونم که الان هم دوست دارید سریع بریم سراغ آموزش این جلسه. پس با احترام به خواست همه شما عزیزان این جلسه رو شروع کنیم.

معادلات خطی همگن یکی از مباحث اساسی در جبر خطی و ریاضیات کاربردی هستند که در بسیاری از زمینه‌های علمی، مهندسی و حتی اقتصاد به کار می‌روند. در این بخش قصد داریم به توضیح مفهوم، خواص و روش‌های حل معادلات خطی همگن بپردازیم.

تعریف:

یک معادله خطی همگن به معادله‌ای گفته می‌شود که در آن تمام جمله‌ها شامل متغیرها هستند و هیچ جمله‌ای به صورت ثابت وجود ندارد.

معادلات خطی و همگن با ضرایب ثابت معادلات مرتبه nام

در این قسمت نحوه به دست آوردن جواب عمومی(کلی) معادله L(y) = y⁽ⁿ⁾ + a_n-1 y^(n-1) +…+a₀y = 0 را توضیح می دهیم. در ضمن a_i ثابت حقیقی هستند.

این معادله دارای n جواب مستقل خطی y₁, y₂,…y_{n است و جواب عمومی آن} y_h = c₁y₁ + c₂y_{2 +…+} c_ny_n خواهد بود. برای بدست آوردن جواب این معادله ابتدا معادله مشخصه آن را به صورت rⁿ  + a_n-1r^n-1 +…+a₀ = 0 با جایگذاری r^k  بجای y^k  تشکیل می دهیم. متناظر با هر ریشه از این چند جمله ای درجه n یک جواب بدست می آوریم. با توجه به وضعیت r دو حالت زیر را داریم:

الف) r=α که α ∈ R ریشه معادله است که S بار تکرار می شود. متناظر با این ریشه جواب مستقل خطی به صورت زیر داریم:

r = α→e^αx,xe^αx,…,x^s-1e^αx    

در ادامه با حل مثال های بیشتر، به شما کمک خواهیم کرد تا این مفهوم کامل براتون روشن شود. البته که حل کامل مثالها رو میتوانید داخل کانال یوتیوب ما در این لینک ببینید.

در ضمن در جزوه همین فصل هم مثالهای بیشتری براتون مطرح کردیم که میتوانید جزوه را از این آدرس از فروشگاه وبسایت مان تهیه کنید.

مثال) معادلات دیفرانسیل زیر را حل کنید:

یادتون نره که منتظر خوندن کامنتهای شما زیر همین پست هستم که مطمان بشم همراه من هستید. پس تا جلسه بعد!

موفق باشید🍀